RESUMO
Esta postagem tem como objetivo apresentar a importância das Transformações Geométricas, citando aspectos históricos que foram encontrados desde tempos remotos, também é apresentada a forma como ela se define e se subdivide, mostrando aplicações e exemplos para um melhor entendimento. Nesta pesquisa são apresentados os dois grupos que dividem os tipos de Transformações Geométricas: Isometrias e Homotetias, mostrando as características que os diferencia. As Isometrias, por sua vez, se dividem em três tipos: Translação, que consiste em mudar a posição da figura, a Rotação, que gira a figura em torno de um eixo e a Reflexão, que espelha de forma simétrica em torno de uma reta, a figura, dentre as reflexões, ainda podemos citar a reflexão deslizante, que é uma combinação de reflexão com translação paralela ao eixo de reflexão. A Homotetia consiste em ampliar ou reduzir a figura, dessa forma a figura transformada não é congruente a original, por isso, não se enquadra como uma isometria.
INTRODUÇÃO
Desde os primeiros registros encontrados da humanidade, foi possível perceber evidências que mostram o uso de Transformações Geométricas, assim entendemos que teve sua importância desde muito antes de ser formalizada e ser chamada como conhecemos hoje. Essas evidências foram encontradas ao redor do mundo todo e são muito antigas, como as pinturas rupestres encontradas no sítio de El Buey na Bolívia, nas cerâmicas chinesas do período Neolítico (3000 a.C.), na cerâmica Marajoara, que usava padrões simétricos, encontrada no Brasil e é considerada uma das mais antigas América, no tapete Pazyryk da Sibéria datado do século V a.C. Percebemos que as Transformações Geométricas foram usadas ao longo da história para diversos trabalhos manuais e nos dias atuais não é diferente, como podemos ver na produção de tecelagem, dentre outros artesanatos.
Vários estudiosos utilizaram as Transformações Geométricas como objeto de pesquisa, um dos primeiros foi Felix Klein (1849-1925) que em sua conferência “Erlanger Programm” demostrou que o conceito de grupo podia ser utilizada para identificar propriedades de diferentes geometrias. Outro estudioso foi Evgraf Fedorov (1853-1919) que através do estudo dos grupos cristalográficos, estudou os padrões no plano e a partir disso foi possível determinar que há somente sete tipos de frisos. Já o artista Maurits Cornelis Escher (1898-1972), através de Transformações Geométricas criou obras que ficaram conhecidas por serem praticamente impossíveis de serem feitas, devido as ilusões espaciais e padrões complexos. Vendo a utilização das Transformações Geométricas ao longo da história, percebemos a sua importância, inclusive nos dias atuais.
CONCEITOS
Ao longo do tempo as Transformações Geométricas foram utilizadas de forma abrangente, mesmo sem ser nomeada, e devido a sua importância surgiu a necessidade de se formalizar os conceitos para que possibilitasse estudos mais aprofundados sobre o assunto.
Podemos definir a Transformação Geométrica “[…] como sendo uma aplicação bijetiva entre duas figuras geométricas, no mesmo plano ou em planos diferentes, de forma que, a partir de uma figura geométrica original se forma outra geometricamente igual ou semelhante.” (RODRIGUES; RÊGO, 2010, p. 2). Ou seja, uma figura geométrica é transformada em outra através de uma função bijetiva, sendo que essa nova figura é igual ou semelhante a original.
Através de diversos estudos na área foi possível utilizar as Transformações Geométricas em vários campos. Na computação gráfica é largamente usada, há uma necessidade de manipular e alterar objetos virtuais, tanto na produção de animações quanto de jogos, o movimento de câmera, escalonamento, distorção, mudança de orientações, todas essas manipulações são feitas através de Transformações Geométricas, a indústria e a engenharia em geral se beneficia muito desse tipo de computação.
As Transformações Geométricas são divididas em dois grupos: Isometrias, em que a figura transformada é congruente a figura original e não-isometrias, também conhecidas por Homotetia, onde a figura transformada é uma redução ou ampliação da original. Dentre as Isometrias podemos realizar três tipos de transformações geométricas: Rotação, Translação e Reflexão.
Translação
Translação, segundo os dicionários é um movimento no qual as partes se deslocam de forma paralela e conservam uma direção constante. Pode-se dizer, então, que ocorre quando alteramos a origem de um certo ente geométrico, conservando, no entanto, a sua inclinação e o seu comprimento. Assim, por exemplo, ao transladarmos um segmento de reta, criamos um novo segmento com o mesmo tamanho e a mesma inclinação do anterior, porém com origem em lugar diverso.
A translação, tal como a rotação, é bastante útil na geometria analítica, quando criamos um novo sistema de coordenadas, com origem diversa do habitual, porém conservando a sua inclinação, a fim de se poder, por exemplo, encontrar as equações simplificadas de certas cônicas.
Dessa forma, podemos citar como exemplo, na esteira do que ensina o professor Paulo Boulos (1987, p. 004), a translação de um sistema (O, e1, e2), onde O é origem e e1 e e2 são os vetores dos eixos, e queremos transladá-lo para a criação de um novo sistema (O’, f1, f2), onde f1=e1, f2=e2 e O=(h,k). Então, teremos que um ponto P(u, v) no eixo transladado terá como coordenadas no eixo original (x, y) de modo que:
x=h+u
y=h+v
Assim:
Rotação
A rotação, definida nos dicionários como um movimento giratório em torno de um eixo fixo, consiste matematicamente em alterar a inclinação – isto é mudar o ângulo – de um ente geométrico, mantendo, entretanto, o seu comprimento e a sua origem. Rotacionar um segmento reta, por exemplo, significa alterar a sua inclinação, mantendo a sua origem e o seu tamanho, criando, por fim uma novo segmento de reta a partir do primeiro.
A rotação é muito utilizada na Geometria Analítica, quando se faz necessário a mudança dos eixos para o encontrar-se a fórmula simplificada de uma figura geométrica, como as cônicas, por exemplo. Neste caso, se criará um novo eixo de coordenadas a partir da rotação do eixo x e y convencionais do sistema cartesiano.
Assim, como preleciona o professor Paulo Boulos, se temos um sistema (O, e1, e2), onde O é origem e e1 e e2 são os vetores dos eixos, e queremos rotacioná-lo para a criação de um novo sistema (O, f1, f2), de mesma origem mas com os vetores dos eixos com inclinação diversa, inclinação dada pelo ângulo α, teremos, então que:
f1=(cos a).e1 + (sem a).e2
f2=(-sen a).e1 + (cos a).e2
De modo que:
Reflexão
Basicamente reflexão é uma transformação que tem como característica própria a congruência dos ângulos de suas figuras e reproduz de forma igual e proporção, assim como toda isometria, ela não destorce a figura original. Utiliza-se uma reta para fazer a reflexão de forma que a distância entre os pontos da reta e da figura original é a mesma distância entre os pontos da reflexão e da reta, ou seja, ela é o ponto médio das duas figuras, tanto no eixo da imagem como do domínio em relação ao plano cartesiano. Assim figuras geométricas refletidas mudam de posição espacial, ou seja, os vértices das figuras, onde sendo o ponto mais próximo da reta de simetria ficara mais próximo do outro lado assim podendo muda a aparência visual da figura refletida.
Dentre as reflexões existe a Reflexão Deslizante que nada mais do que uma translação logo após a figura ser refletida, tal translação é feita paralelamente a reta de simetria da reflexão. As reflexões em geral são isometrias opostas onde as figuras ficam desorientados em relação a que não passou pela transformação.
Nesta transformação existe uma técnica para sua construção chamada simetria espelhada, pois podemos fazer um teste que pode se prova o tipo de simetria. Nesta técnica é selecionada uma figura plana qualquer e se tenta encontrar o eixo de simetria através de um espelho, onde ao encontrá-lo a poderá ser observado no outro lado a figura refletida. Há basicamente duas configurações para a simetria de reflexão: a que e através da reta e através de um ponto.
Homotetia
De forma simplificada a Homotetia é a transformação que amplia ou reduz a imagem original, ou seja, mantém os ângulos iguais mas as distâncias entres os pontos são alteradas, assim a imagem gerada é apenas semelhante a sua original, por isso que esse tipo de transformação é classificada como não isometria, já que não mantém as mesmas medidas. A redução ou ampliação da imagem deve ser feita de forma específica, primeiro é determinado um ponto, que é chamado de Ponto de Homotetia, a partir desse ponto é medida a distância para cada ponto da figura original, essas distâncias são multiplicadas por uma constante e assim é gerada uma nova figura, ampliada se a constante for maior que 1, ou reduzida se a constante for menor que 1.
Nesta postagem abordamos um pouco da história e dos conceitos das Transformações Geométricas, mostrando que foi utilizada em toda a história da humanidade, e devido a sua importância surgiu a necessidade de ser formalizada, a partir disso vários estudos foram feitas sobre o assunto, o que possibilitou a aplicação em diversas áreas do conhecimento.
REFERẼNCIAS
A DINÂMICA DAS TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS E SIMETRIAS UTILIZANDO O LIVRO DE ESPELHOS. Lematec, 2010. Disponível em: <http://www.lematec.net.br/CDS/ENEM10/artigos/PT/T12_PT915.pdf>. Acesso em: 02/07/2019.
BOULOS, Paulo; DE CAMARGO, Ivan. Geometria Analítica. CEP, v 4533, p. 004, 1987.
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REFLEXÃO, ROTAÇÃO E TRANSLAÇÃO. Ajuda alunos, 2011. Disponível em: <http://ajudaalunos.blogspot.com/2011/10/reflexao-rotacao-e-translacao.html>. Acesso em: 02/07/2019.
SALA DE AJUDA: ISOMETRIAS. OBMEP, 2015. Disponível em: <http://clubes.obmep.org.br/blog/sala-de-atividades-isometrias/>. Acesso em: 02/07/2019.
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RIBEIRO, Amanda Gonçalves. "Homotetia"; Brasil Escola. Disponível em: <https://brasilescola.uol.com.br/matematica/homotetia.htm> Acesso em: 03/07/2019.
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