Nesta página você encontra a demonstração para o Teorema Fundamental da Aritmética, que é descrito da seguinte maneira:
Um número inteiro n ≥ 2 ou é primo ou pode ser escrito de maneira única, a menos da ordem dos fatores, como produto de números primos.
Demonstração: Para demonstrar este teorema precisamos provar duas coisas:
Existência da decomposição.
A unicidade da decomposição.
Demonstrando a Existência da Decomposição.
Se n é primo, nada há que demonstrar, pois já está fatorado. Suponhamos então que n seja composto. Pela proposição 1, existe um número primo p tal que p1 | n. Assim existe x1 inteiro tal que n = p1. x1 onde 1< x1< n. Se x1 é primo então a prova está completa. Se x1 é composto, então pela proposição 1, existe um número primo p2 tal que p2 | x1. Assim existe x2 inteiro tal que x1 = p2. x2 onde 1< x2< x1. Podemos então escrever n = p1. p2. x2. Se x2 é primo então a prova está completa. Se x2 é composto, seguimos o mesmo raciocínio. Com isso obteremos uma sequência decrescente: n > x1 > x2 > x3 > ... > 1 e como existe um número finito de inteiros positivos menores que n e maiores que 1, existirá um inteiro pk primo tal que n = p1. p2. p3.... pk.
Demonstrando a Unicidade da Decomposição.
Suponhamos que n admite duas decomposições como produto de fatores primos, isto é:
n = p1. p2. p3. ... pr = q1. q2. q3.... qs com r ≤ s e = p1 ≤ p2 ≤ p3 ≤ ... ≤ pr e q1 ≤ q2 ≤ q3 ≤ ... ≤ qs.
Dessa forma p1 | q1. q2. q3.... qs ⇒ p1 = qi para algum i ⇒ p1 ≥ q1.
Analogamente q1 | p1. p2. p3. ... pr ⇒ q1 = pj para algum j ⇒ q1 ≥ p1.
Logo p1 = q1. Assim p2. p3. ... pr = q2. q3.... qs . Com o mesmo raciocínio conclui-se que p2 = q2 e assim por diante. Então se r < s, temos a igualdade 1 = qr+1. qr+2. ... qs, o que é um absurdo pois qr+1, qr+2, ... e qs são primos.
Portanto r = s e p1 = q1, p2 = q2, ..., pr= qr.
OBS: A decomposição em primos de um inteiro n ≥ 2 pode ser dada da forma:
Ou seja, podem existir fatores primos repetidos.
A fonte dessa demonstração é o material da Universidade Federal de Ouro Preto, confira o material original neste link.
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